gdzie \( z \) jest liczbą zespoloną. Zauważmy, że choć między liczbami zespolonymi nie określa się nierówności, to nasza nierówność dotyczy w istocie liczb rzeczywistych, bowiem zarówno \( \mathfrak{Re}z \) jak i \( \mathfrak{Im} z \) są liczbami rzeczywistymi.
W rozwiązaniu wykorzystamy postać algebraiczną liczby \( z \).
Niech \( z=x+iy \), gdzie \( x,y\in\mathbb{R} \).

Rozważana nierówność ma teraz postać

co po przekształceniu daje

Geometrycznie zatem rozwiązaniem jest zbiór

Skorzystamy z postaci algebraicznej liczby \( z \). Niech \( z=x+iy \), gdzie \( x,y\in\mathbb{R} \).

Oznaczmy przez \( w \) liczbę \( (1+2i)z-3i \). Mamy:

Rozwiązując nierówność \( \mathrm{Im}w \lt 0 \) otrzymujemy

co po przekształceniu daje

Rozwiązanie zadania przedstawia się zatem następująco:

Mamy kolejno: zbiór liczb zespolonych \( z \) takich, że \( \mathrm{Arg}z>\frac{\pi}{6} \)

następnie zbiór liczb zespolonych \( z \) takich, że \( \mathrm{Arg}z \leqslant \frac{2}{3}\pi \)

oraz zbiór liczb zespolonych \( z \) takich, że \( |z| \leqslant 2 \)

Częścią wspólną jest zatem

Nierówność \( |z-z_{0}| \lt r \) dla \( r \gt 0 \) opisuje zbiór liczb zespolonych leżących w odległości mniejszej od \( r \) od liczby \( z_{0} \). Geometrycznie jest to zatem koło bez brzegu o środku w punkcie \( z_{0} \) i promieniu równym \( r \).

Przekształcamy wyjściową nierówność

skąd \( z_{0}=-2+3i \) oraz \( r=2 \).
Wobec tego rozwiązaniem nierówności \( |z+2-3i| \lt 2 \) jest zbiór

Równanie \( |z-z_{1}|=|z-z_{2}| \) opisuje zbiór liczb zespolonych, które leżą w takiej samej odległości od liczb \( z_{1} \) i \( z_{2} \). Geometrycznie jest to więc symetralna odcinka łączącego \( z_{1} \) i \( z_{2} \).

Przekształcamy wyjściowe równanie

skąd \( z_{1}=-1+2i \) oraz \( z_{2}=4+i \). Zatem rozwiązaniem równania \( |z-2i+1|=|z-4-i| \) jest zbiór